Existência de Soluções e Dualidade para Um Problema de Equilíbrio Generalizado
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Publicações do PESC
Neste trabalho, introduzimos o Problema de Equilíbrio Generalizado, PEG. Mostramos que esta formulação fornece uma estrutura unificada para uma família abrangente de problemas importantes que inclui, por exemplo, otimização convexa, desigualdades variacionais e quasevariacionais generalizadas, desigualdade variacional do tipo Minty e programação semidefinida convexa, bem como esquemas de equilíbrio e quase-equilíbrio. Para estabelecer um teorema de existência para o problema PEG estendemos o Princípio KKM e o Lema FKKM. Aplicando nossa teoria de existência ao problema de equilíbrio clássico estudado por Blum e Oettli obtemos novos resultados. Também desenvolvemos um esquema dual para PEG, baseado no conceito de funções conjugadas, que fornece uma análise dual unificada para vários problemas. De fato, mostramos que os problemas duais lagrangianos clássicos de problemas de programação não linear convexa e semidefinida convexa são casos particulares de nosso problema dual. Além disso, estabelecemos condições necessárias e suficientes de otimalidade para soluções primais e duais que tornam-se as propriedades duais obtidas por Mosco e por Morgan e Romaniello para problemas de desigualdades variacionais e quase variacionais, respectivamente. Finalmente, aplicamos a nossa teoria dual a um problema de programação semidefinida convexa e obtemos um teorema de gap de dualidade zero.
In this work, we introduce a Generalized Equilibrium Problem, GEP. We show that this formulation gives a unified framework for a wide class of interesting problems that includes, for example, convex optimization, variational and quasivariational inequality, the Minty variational inequality, convex semidefinite programming, well as equilibrium and quasi-equilibrium schemes. In order to establish an existence theorem for the problem GEP, we extend the KKM Principle and the FKKM Lemma. By applying our existence theory to the classical equilibrium problem studied by Blum and Oettli we get new results. We also develop a dual scheme for GEP, based on the conjugate functions, that furnishes a unified dual analysis for several problems. Indeed, the classical lagrangian dual problems of nonlinear convex problems and convex semidefinite programs are particular cases of our dual problem. Moreover, we establish necessary and sufficient optimality conditions for primal and dual solutions of GEP that become dual properties obtained by Mosco and by Morgan and Romaniello for variational and quasi-variational inequalities problems. Finally, we apply our dual theory to a problem of convex semidefinite programming and we obtain a zero duality gap theorem.