As Equações de Lagrange para Sistemas Dinâmicos Clássicos sob Ponto de Vista da Moderna Geometria Diferencial

O objetivo é apresentar, de uma forma didática, algumas das relações existentes entre a Mecânica clássica e os métodos recentes da Geometria Diferencial.

A utilização de conceitos modernos, tais como, a definição universal de produto tensorial de espaços vetoriais, evita o abuso de notação usual nos desenvolvimentos clássicos.

As equações diferenciais, que descrevem o movimento de partículas em IR3, são obtidas das leis de Newton nesse espaço. Entretanto, tais leis podem ser formuladas em qualquer espaço de configurações M, desde que em M possa-se falar em diferenciabilidade de aplicações, isto é, desde que M seja uma variedade diferenciável. O desenvolvimento da teoria em uma variedade torna-a intrínseca e independente de especiais sistemas de coordenadas, dando clareza, tanto física quanto matemática, aos conceitos envolvidos.

Nos primeiros capítulos são introduzidos, inicialmente, os conceitos de fribrado tangente e cotangente ao IRn e, posteriormente, constrói-se formalmente os fibrados tangente e cotangente a uma variedade diferenciável M.

Nos dois últimos capítulos, deduz-se as equações de Lagrange para um sistema finito de partículas uma forma que independe das coordenadas. Definindo o lagrangeano L como uma função real definida no fibrado tangente descreve-se, finalmente, a transformação de Legendre relativa a uma aplicação do fibrado tangente no cotangente sob forma intrínseca.