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Pesc publication

Title
Fullerene Nanodiscs: From Chemistry to Combinatorics
Research area
Algorithms and Combinatorics
Publication type
Master's thesis
Identification Number
Date
6/1/2022
Resumo

Um grafo é um modelo matemático utilizado para representar relações entre objetos. O estudo formal desses objetos combinatórios e suas relações levou à criação da chamada Teoria de Grafos, que foi aplicada a problemas de grande escala em diversas áreas, como matemática, física, informática, engenharia, química e psicologia. Grafos fulerenos são modelos matemáticos para moléculas compostas exclusivamente por átomos de carbono, descobertas experimentalmente no início da década de 1980. Diversos parâmetros associados a estes grafos vêm sendo discutidos, buscando descrever a estabilidade destas moléculas. Por definição, grafos fulerenos são cúbicos, planares, 3-conexos formados por faces pentagonais e hexagonais.   Uma coloração total de um grafo G atribui cores aos vértices e arestas de G tal que elementos adjacentes ou incidentes tenham cores distintas. A famosa Conjectura da Coloração Total permanece aberta há mais de 50 anos e está provada para grafos cúbicos, mas ainda não foi demonstrada para grafos regulares e nem para grafos planares arbitrários. O comprimento do menor ciclo de um grafo é denominado cintura. Nosso objetivo é estudar a coloração total de uma subfamília infinita de grafos fulerenos, os nanodiscos de fulerenos D_r, com distância entre a camada interna (externa) e a camada central dada pelo parâmetro raio r ? 2, motivados por uma conjectura de que a cintura de um grafo é um parâmetro relevante no estudo da coloração total.  Para destacar a escolha da classe de grafos estudada, apresentamos um aporte histórico da descoberta da molécula de carbono que pode ser modelada através de um grafo cúbico planar especial que possui cintura 5. Fornecemos a primeira descrição combinatória para os nanodiscos para aprimorar a compreensão desta classe, e em seguida estudamos a coloração harmônica em subfamílias infinitas de nanodiscos, para que então possamos enfrentar a desafiadora coloração total nesses grafos.

 

Abstract

A graph is a mathematical model used to represent relationships between objects.  The general characteristics that objects and their relationships can assume allowed the construction of the (so-called) Graph Theory, which has been applied to model  large scale problems in several areas, such as Mathematics, Physics, Computer Science, Engineering, Chemistry and Psychology.

Fullerene graphs are mathematical models for carbon-based molecules experimentally discovered in the early 1980. Many parameters associated with these graphs have been discussed to describe the stability of fullerene molecules.  By definition, fullerene graphs are cubic, planar, 3-connected with pentagonal and hexagonal faces.  A total coloring of a graph G assigns colors to the vertices and edges of G such that adjacent or incident elements have different colors. The famous Total Coloring Conjecture open for 50 years is settled for cubic graphs, but not to arbitrary regular graphs nor to arbitrary planar graphs. The length of the shortest cycle in a graph is called girth. Our goal is to study the total coloring of an infinite subfamily of fullerene graphs, the fullerene nanodiscs D_r, with distance between the inner (outer) layer and the central layer given by the radius parameter r  ? 2, motivated by a conjecture that the girth of a graph is a relevant parameter in the study of total coloring.  To highlight the choice of the studied graph class, we present a historical scenario of the carbon molecule discovery that can be modeled through a special cubic planar graph of girth 5. We contribute by giving the first combinatorial description for fullerene nanodiscs, aiming to improve the understanding of this class and then a conformable coloring for infinite families of fullerene nanodiscs, so that we are able to tackle the challenging total coloring of these graphs.

 

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