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Título
O Problema de Quase-Equilíbrio: Uma Abordagem do Tipo-Newton Regutarizado
Linha de pesquisa
Algoritmos e Combinatória
Tipo de publicação
Tese de Doutorado
Número de registro
Data da defesa
18/4/2018
Resumo

O problema de quase-equilíbrio (QEP) corresponde a um problema de equilíbrio clássico (EP) onde a região viável muda em cada ponto considerado, não sendo mais um conjunto fixo. QEP fornece, portanto, uma estrutura unificada para uma família ampla de problemas matemáticos os quais não se encaixam no escopo de EP. Isto inclui, por exemplo, problemas de equilíbrio de Nash generalizados (GNEPs) e desigualdades quase-variacionais (QVIs). Neste trabalho, propomos um método implementável do tipo-Newton para resolver o problema EP juntamente com sua extensão para o problema QEP. Analisamos as propriedades dos algoritmos e provamos a convergência local para uma solução do problema, sob hipóteses usuais para métodos do tipo-Newton, obtendo taxa de convergência superlinear/quadrática. Propomos uma globalização do algoritmo no caso EP. Apresentamos aplicações dos métodos propostos ao problema GNEP e ao problema de otimização multiobjetivo (MOP). Para aplicar os algoritmos obtidos ao problema MOP, apresentamos inicialmente uma aproximação suave da bifunção para a sua colocação como um problema EP. Posteriormente, introduzimos uma formulação que nos permite tratar o MOP como um QEP. Essa formulação possui a vantagem de fornecer um QEP com dados suaves envolvendo apenas os elementos originais do problema. Finalmente, ilustramos o comportamento numérico dos algoritmos locais por meio de problemas-teste da literatura envolvendo os problemas EP, GNEP e MOP. O algoritmo proposto para o problema de quase-equilíbrio se mostrou eficiente ao resolver um QEP que não se enquadra nem na formulação de QVIs nem na de GNEPs, além de ser capaz de resolver um GNEP nonjointly convex.

Abstract

The quasi-equilibrium problem (QEP) allows, in contrast to standard equilibrium problem (EP), a change in the feasible region together with the considered point. Therefore, QEP provides an unified framework for a wider family of mathematical problems which do not fit within the scope of EP. It includes, for example, generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and quasi-variational inequalities (QVIs). In this work, we propose an implementable Newton-type method to solve EPs as well as its extension to solve QEPs. We analyze some properties of the algorithms proving its local convergence to a solution of the problem under usual assumptions for Newton-type methods as well as its superlinear/quadratic convergence rate. We propose a global version of the algorithm for EP. Applications of the proposed method to GNEP and multiobjective optimization problem (MOP) are considered. For applying our results to the multiobjective optimization problem, we present a smooth approximation of the bifunction which allows a formulation of the problem as an EP. Next, we introduce a formulation that allows us to consider a MOP as a QEP. This formulation has the advantage of providing a QEP with smooth data involving only the original data of the problem. Finally, we illustrate the numerical behavior of the local algorithms through some test-problems involving EP, GNEP and MOP. The proposed algorithm to solve QEPs has been proved to be efficient for solving a QEP which is neither a QVI nor a GNEP, besides the fact that it has been able to solve a nonjointly convex GNEP.

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